Qual a diferença entre carta rogatória e auxílio direto?

O critério é um só, e está escrito

O art. 28 do CPC separa as duas vias numa frase: cabe auxílio direto quando a medida não decorrer diretamente de decisão de autoridade jurisdicional estrangeira a ser submetida a juízo de delibação no Brasil.

Quer dizer que a pergunta não é o que se pede, é se existe uma decisão estrangeira a ser cumprida. Havendo, a via é a rogatória. Não havendo, é o auxílio direto.

O que passa pelo auxílio direto

O art. 30 do CPC enumera os objetos: obtenção e prestação de informações sobre o ordenamento jurídico e sobre processos findos ou em curso, colheita de provas, salvo se a medida for adotada em processo estrangeiro de competência exclusiva de autoridade judiciária brasileira, e qualquer outra medida não proibida pela lei brasileira.

Por onde ele entra

O art. 29 do CPC põe o caminho: a solicitação é encaminhada pelo órgão estrangeiro interessado à autoridade central, cabendo ao Estado requerente assegurar a autenticidade e a clareza do pedido.

O art. 33 do CPC descreve o que acontece aqui dentro: recebido o pedido passivo, a autoridade central o encaminha à Advocacia-Geral da União, que requer em juízo a medida. Quando a autoridade central é o Ministério Público, é ele quem requer.

Há juiz brasileiro no caminho nos dois casos. A diferença não é a ausência de controle, é a natureza dele.

A rogatória e o seu controle

O art. 36 do CPC descreve o procedimento: perante o Superior Tribunal de Justiça, em jurisdição contenciosa, assegurando às partes as garantias do devido processo legal.

Duas palavras decidem. Contenciosa quer dizer que há defesa, e devido processo legal quer dizer que ela é exercível.

As duas servem para executar decisão estrangeira

O art. 40 do CPC fecha o quadro: a cooperação para execução de decisão estrangeira dá-se por carta rogatória ou por ação de homologação de sentença estrangeira.

O que a lei não diz

O texto não fixa prazo para nenhuma das vias, não diz o que acontece quando um dado atravessa a fronteira sem nenhuma delas, e não descreve como se comprova, nos autos, qual via foi usada.