Qual é o recurso cabível quando o recurso especial é inadmitido?

A pergunta certa é qual foi o fundamento

O art. 1.042 do Código de Processo Civil fixa a regra geral: cabe agravo contra decisão do presidente ou do vice-presidente do tribunal recorrido que inadmitir recurso extraordinário ou recurso especial. O mesmo dispositivo abre a exceção no próprio caput, ressalvando a decisão fundada em entendimento firmado em repercussão geral, em relevância da questão de direito federal infraconstitucional ou em julgamento de recursos repetitivos.

Ou seja, o veículo não sai do resultado, que é sempre o mesmo, e sim da razão escrita na decisão que barrou o recurso.

O caminho de cada fundamento

O art. 1.030, § 1º, do Código de Processo Civil trata da inadmissibilidade fundada na ausência dos requisitos próprios do recurso: dela cabe agravo ao tribunal superior.

O art. 1.030, § 2º, do Código de Processo Civil cobre o outro lado: da decisão que nega seguimento com fundamento nas hipóteses de precedente qualificado cabe agravo interno. O recurso, aí, não sai do tribunal de origem, e quem o julga é o órgão colegiado de lá.

O que é o agravo interno

O art. 1.021 do Código de Processo Civil descreve o veículo: contra decisão proferida pelo relator cabe agravo interno para o respectivo órgão colegiado, observadas as regras do regimento interno do tribunal. O texto exige que a petição impugne especificadamente os fundamentos da decisão agravada, e prevê multa de um a cinco por cento do valor atualizado da causa quando o agravo é declarado manifestamente inadmissível ou improcedente em votação unânime.

A exigência de impugnação específica é o ponto em que mais se perde. Repetir as razões do especial sem enfrentar o fundamento da decisão que o barrou é o defeito clássico do tema.

O que a lei não diz

O art. 1.003, § 5º, do Código de Processo Civil fixa quinze dias para interpor recurso e para responder a ele, excetuados os embargos de declaração, e não trata da matéria criminal em separado. Como esse prazo se conta nos recursos criminais é questão discutida, e o Código não a resolve. Também não há regra para a decisão que mistura fundamentos, barrando o recurso ao mesmo tempo por precedente qualificado e por ausência de requisito próprio.